[Dúvida] Posto da Matriz

[Dúvida] Posto da Matriz

Postby fabiof » 01 Mar 2012 19:16

Estou com a seguintes dúvidas:
Posto da matriz é igual a grau de liberdade da matriz que por sua vez é igual a nulidade da matriz?
Digo, estes termos são correspondentes?

Minha outra dúvida está em um exemplo que vi em um livro de álgebra linear(Boldrini):

Dadas a matriz de coeficientes e a matriz ampliada(reduzidas a forma escada) a seguir:

Matriz dos coeficientes(2X2)
C11=1
C12=1/2
C21=0
C22=0

Matriz ampliada(2X3)
A11=1
A12=1/2
A13=0
A21=0
A22=0
A23=0

Observa-se que o posto da matriz dos coeficientes do sistema inicial é 1 e o posto da matriz ampliada 2.

----/fim do exemplo/----

E por fim, não entendi como saber qual o posto da matriz.
Como ele chegou a esse 1 e a esse 2?

Obrigado novamente.
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Re: [Dúvida] Posto da Matriz

Postby vladmirsicca » 02 Mar 2012 13:19

Fábio,

Primeiro, vou aproveitar a oportunidade para remetê-los a esse tópico: http://forum.ime.unicamp.br/viewtopic.php?f=36&t=300 , que pode ser redirecionado a vocês para facilitar a representação de expressões matemáticas no fórum. Para quem preferir, como eu, uma interface mais simples para escrever suas coisas, pode vir direto neste link: http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php , aí vocês podem montar as expressões e depois é só copiar o código no fórum entre configurado como tex (ferramenta no cabeçalho).

Assim, suas matrizes podem ser escritas assim: \begin{bmatrix}
1 & \frac{1}{2}\\ 
0 & 0
\end{bmatrix} e \begin{bmatrix}
1 & \frac{1}{2} & 0\\ 
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}

Sobre a pergunta, reconheço que não sei o que são "grau de liberdade" e "nulidade" da matriz, as definições estão no Boldrini?. O posto linha e o posto coluna da matriz são, respectivamente, o número de linhas ou colunas (que são vetores)* L.I. na matriz, e isso é equivalente ao número de linhas não-nulas que sobram quando você escalona a matriz. Nas notas de aula está a prova de que o posto linha é igual ao posto coluna da matriz.

Por essas duas definições, o posto das matrizes que você colocou é 1. Depois vou checar o Boldrini para ver o que ele está falando, você pode dizer qual o número do exemplo e o capítulo?

------
*Tecnicamente, diz-se o número máximo de vetores que formam um conjunto L.I.
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Re: [Dúvida] Posto da Matriz

Postby Isabel » 02 Mar 2012 15:13

Dei uma olhada no livro do Boldrini. Talvez sua edição do livro tenha errinhos, ou então se confundiu.. O exemplo correto é esse:

Sistema:
\\x+(\frac{1}{2})y=0 \\
0x+0y=\mathbf{1}

Matriz reduzida:
\begin{bmatrix} 1& \frac{1}{2} \\ 0 & 0\end{bmatrix}

Matriz ampliada:
\begin{bmatrix} 1& \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{1}\end{bmatrix}


Espero ter ajudado :)
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Re: [Dúvida] Posto da Matriz

Postby Isabel » 02 Mar 2012 15:19

Complementando a resposta:
não vi as definições do Boldrini, mas geralmente:

Posto é o que o Vladmir falou

Nulidade é a dimensão do Kernel da matriz

Graus de liberdade são o número de parâmetros independentes da solução
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Re: [Dúvida] Posto da Matriz

Postby fabiof » 02 Mar 2012 16:42

Obrigado aos dois, Vladmir e Isabel.
Eu me confundi realmente ao escrever a matriz aqui.
Na próxima usarei estas ferramentas para facilitar, desconhecia esta.
Agora estou com um pouco de dúvida em espaco de Kernel mas não li muito a respeito,
vou ler mais, novamente
Obrigado.
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Re: [Dúvida] Posto da Matriz

Postby Isabel » 02 Mar 2012 16:53

Kernel (ou núcleo) de uma matriz \mathbf{A} é o conjunto de todos os vetores \mathbf{v} tais que
\mathbf{A}\mathbf{v}=\mathbf{0}

Por exemplo, o kernel de

\begin{bmatrix} 1& \frac{1}{2} \\ 0 & 0\end{bmatrix}

é o conjunto

\{(\lambda, -2\lambda), \lambda \in \mathbb{R}\}. Esse kernel específico tem dimensão 1.
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Re: [Dúvida] Posto da Matriz

Postby fabiof » 03 Mar 2012 12:11

Olá novamente,
notei aqui no Boldrini o trecho:
"
A nulidade da matriz dos coeficientes é x, que também é chamado de grau de liberdade que é igual numero de variaveis livres...
"
Isto sempre vale?
Grau de liberdade = dimensão do Kernel?
--

E obrigado pelas respostas, foram muito esclarecedoras para mim!!
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Re: [Dúvida] Posto da Matriz

Postby Marcelo Fantini » 03 Mar 2012 18:24

Sim, nulidade sempre significa a dimensão do kernel.
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